As comeias tem a forma hexagonal ?

Sim pois, as abelhas formam um mosaico sem lacunas, já que têm que aproveitar ao máximo o espaço porque terão escolhido os hexágonos, Papus demonstrou que, entre todos os polígonos regulares com o mesmo perímetro, tem maior área, aquele que tiver o maior número de lados é

mario para fezer a comeia.

O que são fractais ?

É a chamada geometria euclidiana, que deve seu nome ao matemático egípcio Euclides. Formas exatas e perfeitas como essas são abstrações impossíveis de serem encontradas na naturez a. E é justamente na natureza que estava oculta a geometria fractal, descoberta entre as décadas de 60 e 70 tanto nos estudos das variações climáticas pelo meteorologista americano Edward Lorenz quanto nas estatísticas visualizadas em computador pelo matemático polonês Benoit Mandelbrot, o homem que deu nome às fractais. O que elas mostravam é que processos aparentemente irregulares como a ramificação de uma árvore ou o recorte geográfico de um litoral seguem, na verdade, um padrão - que, por sua vez, obedece a uma fórmula matemática. Aí está a característica principal da geometria fractal, batizada de autosimilaridade: são formas cujas partes sempre reproduzem o todo. "Não existe uma definição precisa, mas podemos dizer que uma figura é um fractal quando ela é formada por diversas partes, que lembram, cada uma, o desenho da figura inteira", diz o matemático americano Michael Frame, da Universidade Yale, nos Estados Unidos, co-autor, junto com Mandelbrot, do livro Chaos Under Control: The Art and Science of Complexity ("Caos sob controle: a arte e a ciência da complexidade"), que explora esse tema.

Porque as bolhas de sabão são esféricas ?

Bolha de sabão é uma película muito fina de sabão e água em forma de esfera e de superfície iridescente. Normalmente as bolhas de sabão duram apenas alguns segundos e logo explodem por si mesmas ou por contato com outro objeto. Muitas vezes são usadas como objeto de jogos para crianças, porém seu uso em espetáculos artísticos demonstra que também podem ser fascinantes para os adultos. Podem também ajudar a resolver problemas matemáticos complexos sobre o espaço, já que sempre se busca a menor área de superfície entre pontos ou arestas.

Algumas Figuras :

As comeias tem a froma hexagonal ?

As abelhas, na sua infinita sabedoria, descobriram que o formato hexagonal é o que utiliza a menor quantidade de cera para construir o favo. Se não, vejamos( supondo que o favo tenha 1 cm de comprimento e meio milimetro (0,05 cm) de parede lateral):Ele não poderia ser redondo, pois não se encaixaria com os demais e sobraria espaço entre um e outro. Na verdade os únicos formatos depolígonos regulares (lados iguais) que se encaixam perfeitamente são o triângulo, o quadrado e o hexágono.Suponha que uma abelha queira construir um favo para armazenar meio mililitro de mel. Meio mililitro é igual a 0,5 cm ³.

O que são Fractais ?

Fractais (do latim fractus, fração, quebrado) são figuras da geometria não-Euclidiana.

A geometria fractal é o ramo da matemática que estuda as propriedades e comportamento dos fractais. Descreve muitas situações que não podem ser explicadas facilmente pela geometria clássica, e foram aplicadas em ciência, tecnologia e arte gerada por computador. As raízes conceituais dos fractais remontam a tentativas de medir o tamanho de objetos para os quais as definições tradicionais baseadas na geometria euclidiana falham.

Um fractal (anteriormente conhecido como curva monstro) é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhante ao objeto original. Diz-se que os fractais têm infinitos detalhes, são geralmente auto-similares e independem de escala. Em muitos casos um fractal pode ser gerado por um padrão repetido, tipicamente um processo recorrente ou iterativo.

O termo foi criado em 1975 por Benoît Mandelbrot, matemático francês nascido na Polónia, que descobriu a geometria fractal na década de 1970 do século XX, a partir do adjetivo latino fractus, do verbo frangere, que significa quebrar.

As bolhas de sabão são esfericas ?

Por que todos os líquidos possuem uma propriedade interessante chamada : TENSÃO SUPERFICIAL Ela é provocada por um desequilíbrio das forças de atração entre as moléculas da superfície de um líquido. Essa força é chamada de: FORÇA DE COESÃO. A tensão superficial tenta fazer com que um líquido tenha a menor superfície possível. A água dentro de um copo tem a sua superfície determinada pela forma do copo, pois além da força de Coesão, existe uma outra força de atração, entre a água e o copo, chamada de: FORÇA DE ADESÃO. Quando você faz uma bolha, a película de água e sabão também possui essa propriedade de Coesão e Adesão. A película, não tem onde ''se grudar''. Então, as moléculas de água se grudam nelas mesmas, tentando diminuir ao máximo sua superfície.E a menor forma que elas podem assumir é uma esfera

IMAGENS

Duas folhas de acrílico cobertas de cola, quando espremidas formam um fractal natural.

Uma perturbação causada por alta tensão em um bloco de acrílico cria um fractal

Outra vista do conjunto de Mandelbrot.

O conjunto de Mandelbrot é um exemplo famoso de fractal.

O QUE SAO FRACTAIS ?

Fractais (do latim fractus, fração, quebrado) são figuras da geometria não-Euclidiana.

A geometria fractal é o ramo da matemática que estuda as propriedades e comportamento dos fractais. Descreve muitas situações que não podem ser explicadas facilmente pela geometria clássica, e foram aplicadas em ciência, tecnologia e arte gerada por computador. As raízes conceituais dos fractais remontam a tentativas de medir o tamanho de objetos para os quais as definições tradicionais baseadas na geometria euclidiana falham.

Um fractal (anteriormente conhecido como curva monstro) é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhante ao objeto original. Diz-se que os fractais têm infinitos detalhes, são geralmente auto-similares e independem de escala. Em muitos casos um fractal pode ser gerado por um padrão repetido, tipicamente um processo recorrente ou iterativo.

O termo foi criado em 1975 por Benoît Mandelbrot, matemático francês nascido na Polónia, que descobriu a geometria fractal na década de 1970 do século XX, a partir do adjetivo latino fractus, do verbo frangere, que significa quebrar.

Vários tipos de fractais foram originalmente estudados como objetos matemáticos.

As comeias tem a forma hexagonal ?

Sim pois, as abelhas, quando fabricam o mel, têm que resolver vários problemas. Precisam de o guardar em compartimentos individuais, de tal maneira que formem um mosaico sem lacunas, já que têm que aproveitar ao máximo o espaço. Se só o podem fazer utilizando triângulos, quadrados e hexágonos, porque terão escolhido os hexágonos, se estes são mais difíceis de construir? A resposta é um problema isoperimétrico (de igual perímetro). Papus demonstrou que, entre todos os polígonos regulares com o mesmo perímetro, tem maior área, aquele que tiver o maior número de lados. Por este motivo, as abelhas constroem os favos de forma hexagonal, uma vez que, gastando a mesma quantidade de cera, conseguem uma maior superfície para guardar o mel.

Por que as bolhas de sabão são esféricas ?

Todos os líquidos possuem uma propriedade interessante chamada:

TENSÃO SUPERFICIAL : Ela é provocada por um desequilíbrio das forças de atração entre as moléculas da superfície de um líquido. Essa força é chamada de :

FORÇA DE COESÃO : O que você tem que saber é que a tensão superficial tenta fazer com que um líquido tenha a menor superfície possível.A água dentro de um copo tem a sua superfície determinada pela forma do copo, pois além da força de Coesão, existe uma outra força de atração, entre a água e o copo, chamada de:

FORÇA DE ADESÃO: Quando você faz uma bolha, a película de água e sabão também possui essa propriedade de Coesão e Adesão.MAS...Ela, a película, não tem onde ''se grudar''. Então, as moléculas de água se grudam nelas mesmas, tentando diminuir ao máximo sua superfície.E a menor forma que elas podem assumir é uma esfera.

O que são Fractais ?

Fractais (do latim fractus, fração, quebrado) são figuras da Geometria não Euclidiana. A geometria fractal é o ramo da matemativa que estuda as propriedades e comportamento dos fractais. Descreve muitas situações que não podem ser explicadas facilmente pela geometria clássica, e foram aplicadas em ciencia, tecnologia e arte gerada por computador. As raízes conceituais dos fractais remontam a tentativas de medir o tamanho de objetos para os quais as definições tradicionais baseadas na geometria euclidiana falham. Um fractal (anteriormente conhecido como curva monstro) é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhante ao objeto original. Diz-se que os fractais têm infinitos detalhes, são geralmente auto-similares e independem de escala . Em muitos casos um fractal pode ser gerado por um padrão repetido, tipicamente um processo recorrente ou iterativo. O termo foi cunhado em 1975 por Benoît Mandelbrot, matemático francês nascido na Polónia, que descobriu a geometria fractal na década de 70 do século XX, a partir do adjetivo latino fractus, do verbo frangere, que significa quebrar. Vários tipos de fractais foram originalmente estudados como objetos matemáticos. Fractais são formas que se caracterizam por repetir um determinado padrão com ligeiras e constantes variações (auto-similaridade). Podem ser facilmente identificadas na natureza, na forma de uma couve flor, em árvores e mariscos, assim como em qualquer estrutura cujas ramificações sejam variações de uma mesma forma básica. Em conseqüência da auto-similaridade, quando vistas através de uma lente de aumento, as diferentes partes de um fractal se mostram similares à forma como um todo.

Algums figuras de Fractais :

UMAS DAS FIGURAS DE ESCHER

GEOMETRIA ESPACIAL CILINDROS

O conceito de cilindro é muito importante. Nas cozinhas encontramos aplicações intensas do uso de cilindros. Nas construções, observamos caixas d'água, ferramentas, objetos, vasos de plantas, todos eles com formas cilíndricas.Existem outras formas cilíndricas diferentes das comuns, como por exemplo o cilindro sinuzoidal obtido pela translação da função seno.

Seja P um plano e nele vamos construir um círculo de raio r e tomemos também um segmento de reta AB que não seja paralelo ao plano P e nem esteja contido neste plano P. Um cilindro circular é a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a AB com uma extremidade no círculo.Observamos que um cilindro é uma superfície no espaço R³, mas muitas vezes vale a pena considerar o cilindro como a região sólida contida dentro do cilindro. Quando nos referirmos ao cilindro como um sólido usaremos aspas, isto é, "cilindro" e quando for à superfície, simplesmente escreveremos cilindro. A reta que contém o segmento AB é denominada geratriz e a curva que fica no plano do "chão" é a diretriz.Em função da inclinação do segmento AB em relação ao plano do "chão", o cilindro será chamado reto ou oblíquo, respectivamente, se o segmento AB for perpendicular ou oblíquo ao plano que contém a curva diretriz

Objetos geométricos em um "cilindro" Em um cilindro, podemos identificar vários elementos: Base: É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro existem duas bases. Eixo: É o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro". Altura: A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm as bases do "cilindro". Superfície Lateral: É o conjunto de todos os pontos do espaço, que não estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre apoiada sobre a curva diretriz. Superfície Total: É o conjunto de todos os pontos da superfície lateral reunido com os pontos das bases do cilindro. Área lateral: É a medida da superfície lateral do cilindro. Área total: É a medida da superfície total do cilindro. Seção meridiana de um cilindro: É uma região poligonal obtida pela interseção de um plano vertical que passa pelo centro do cilindro com o cilindro. Extensão do conceito de cilindro As características apresentadas antes para cilindros circulares, são também possíveis para outros tipos de curvas diretrizes, como: elipse, parábola, hipérbole, seno ou outra curva simples e suave num plano. Mesmo que a diretriz não seja uma curva conhecida, ainda assim existem cilindros obtidos quando a curva diretriz é formada por uma reunião de curvas simples. Por exemplo, se a diretriz é uma curva retangular, temos uma situação patológica e o cilindro recebe o nome especial de prisma. Em função da curva diretriz, o cilindro terá o nome de cilindro: elíptico, parabólico, hiperbólico, sinuzoidal (telha de eternit).

Classificação dos cilindros circulares Cilindro circular oblíquo: Apresenta as geratrizes oblíquas em relação aos planos das bases. Cilindro circular reto: As geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. Este tipo de cilindro é também chamado de cilindro de revolução, pois é gerado pela rotação de um retângulo. Cilindro eqüilátero: É um cilindro de revolução cuja seção meridiana é um quadrado. Volume de um "cilindro" Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura. V = A(base) h Se a base é um círculo de raio r, e pi=3,141593..., então: V = pi r² h Exercício: Calcular o volume de um cilindro oblíquo com base elíptica (semi-eixos a e b) e altura h. Sugestão: Veja nesta mesma Página um material sobre a área da região elíptica. Área lateral e área total de um cilindro circular reto

UM POUCO DE HISTÓRIA

“No mundo e através da história, todas as culturas, em maior ou menor grau, fizeram contas, conheceram alguns números, observaram os movimentos do céu, seguiram um calendário,tentaram tratar de doenças. Mas só uma cultura inventou a representação de formas como o quadrado, o círculo, a esfera, e conseguiu discorrer sobre elas com rigor. Mas então onde e quando surgiu esta geometria? Na Grécia, exatamente há 26 séculos.” Com este trecho extraído do livro “As Origens da Geometria” do autor Michel Serres podemos começar a falar sobre a geometria. Vejam que quando estudamos a origem da geometria não podemos dizer que esta se procedeu apenas na Grécia como sempre foi proposto, e sim por um conjunto de necessidades dos povos antigos, que tinham por objetivo resolver problemas do seu dia-a-dia, como lugares para armazenar alimentos, como construir paredes, .... Um destes problemas ocorreu no Egito Antigo: “– Nas enchentes do rio Nilo, as águas inundavam os campos ao seu redor. Por isto os sábios da época tiveram como tarefa redistribuir aos proprietários as parcelas de terrenos cuja inundação tinha apagado os seus limites”. Não podemos esquecer que, também, a geometria de uma maneira mais rústica foi usada na Babilônia, na China, entre outros. Mas, o seu uso como ciência dedutiva teve origem, sim, na Grécia Antiga; destacaram-se Tales de Mileto, os pitagóricos (os discípulos de Pitágoras) e Platão, o qual evidenciou a necessidade da demonstração rigorosa de teoremas, fazendo com que o trabalho de Euclides fosse tremendamente facilitado. Posteriormente, apareceu Arquimedes, este criou uma teoria que foi importante para o desenvolvimento do conceito de limite, ferramenta indispensável do Cálculo. Ainda podemos citar Apolônio de Perga, que se dedicou ao estudo das cônicas; Gauss e Riemman que propuseram uma geometria chamada de nãoeuclidiana, pois se diferenciava da geometria proposta por Euclides. Ainda poderíamos citar Arthur Cayley que criou uma geometria de mais de três dimensões. Porém, muito antes destes pensadores, a Geometria já era conhecida e usada no Egito Antigo, não como um mero passatempo, mas, sim, por necessidade, com o propósito de se resolver problemas relacionados a cálculos de áreas de terras férteis, cálculo de volumes de mercadorias armazenadas, entre outros. Veja, por exemplo, no problema das enchentes do rio Nilo, os sábios da época tiveram como tarefa redistribuir aos proprietários os seus terrenos devidamente delimitados, já que a inundação tinha destruído as marcações anteriores. Mas, como medir a área de cada lote de modo que todos fossem iguais?”. Como podemos perceber, a Geometria não surgiu, por uma “mera idéia do acaso”, mas por causa de problemas cotidianos. E até hoje ela é uma poderosa ferramenta no nosso dia-a-dia. ALGUMAS APLICAÇÕES EM ENGENHARIA As aplicações da Geometria Plana podem ser observadas em várias áreas. Seja por estética, por motivos de economia, ou outro motivo qualquer, o uso de matemática é sempre essencial. Vejamos, neste primeiro exemplo como o uso da geometria pode ser útil na Engenharia Civil. Você já parou para pensar em como um engenheiro civil consegue elaborar a planta de uma construção e garantir, por exemplo, que a parede que ele está desenhando é exatamente perpendicular ao solo? Veja que com conhecimentos em matemática podemos facilmente resolver este problema. Vamos traçar a perpendicular à semi-reta AB, sem prolongá-la para a esquerda, considerando que o ponto A está bem próximo à margem esquerda do papel. Figura 01 1º Passo: Marcamos AC igual a 3 unidades quaisquer (u), no segmento AB; 2º Passo: Traçamos os seguintes arcos de circunferências: centro em C e raio 5u e centro em A e raio 4u. A interseção é o ponto D; Conclusão: AD será perpendicular a AB, pois o triângulo ACD é retângulo em A, pois (5u)2 = (3u)2 + (4u)2 . Veja que os conhecimentos empregados são de simples aplicação e servem como atrativo para o estudo de outros tópicos em geometria. O próximo problema reduzir-se-á a traçar a bissetriz de um ângulo sem conhecer o seu vértice. Como exemplo, consideraremos um projeto fictício do setor de trânsito da prefeitura de uma grande cidade, que tem como objetivo melhorar o tráfego de uma região localizada bem antes do cruzamento de duas avenidas movimentadas, r e s. Decidiu-se construir uma rotatória que seja eqüidistante de ambas as avenidas. O problema é obter a localização exata desta rotatória.

Como Surgiu A Geometria

A Geometria, como ciência dedutiva, foi criada pelos gregos. Mas, apesa do seu brilhantismo faltava operacionalidade à geometria grega. E isto só iria ser conseguido mediante a Álgebra como princípio unificador. Os gregos, porém, não eram muito bons em álgebra. Mais do que isso, somente no século XVII a álgebra estaria razoavelmente aparelhada para uma fusão criativa com a geometria.

Ocorre porém que o fato de haver condições para uma descoberta não exclui o toque de genialidade de alguém. E no caso da geometria analítica, fruto dessa fusão, o mérito não foi de uma só pessoa. Dois franceses, Pierre de Fermat (1601-1665) e René Descartes (1596-1650), curiosamente ambos graduados em Direito, nenhum deles matemático profissional, são os responsáveis por esse grande avanço científico: o primeiro movido basicamente por seu grande amor, a matemática e o segundo por razões filosóficas. E, diga-se de passagem, não trabalharam juntos: a geometria analítica é um dos muitos casos, em ciência, de descobertas simultâneas e independentes.

Se o bem-sucedido Pierre de Fermat zeloso e competente conselheiro junto ao Parlamento de Toulouse, dedicava muitas de suas melhores horas de lazer à matemática, certamente não era porque faltasse, alguém em sua posição, outras maneiras de preencher o tempo disponível. Na verdade Fermat simplesmente não conseguia fugia à sua verdadeira vocação e, apesar de praticar matemática como hobby, nenhum de seus contemporâneos contribuiu tanto para o avanço desta ciência quanto ele. Além da geometria analítica, Fermat teve papel fundamental na criação do Cálculo Diferencial, do Cálculo de Probabilidades e, especialmente, da teoria dos números, ramo da matemática que estuda as propriedades dos números inteiros.

A contribuição de Fermat à geometria analítica encontra-se num pequeno texto intitulado Introdução aos Lugares Planos e Sólidos e data no máximo, de 1636 mais que só foi publicado em 1679, postumamente, junto com sua obra completa. É que fermat, bastante modesto, era avesso a publicar seus trabalhos. Disso resulta, em parte, o fato de Descartes comumente ser mais lembrado como criador da Geometria Analítica.

O interesse de Descartes pela matemática surgiu cedo, no “College de la Fleche”, escola do mais alto padrão, dirigida por jesuítas, na qual ingressará aos oito anos de idade. Mas por uma razão muito especial e que já revelava seus pendores filosóficos: a certeza que as demonstrações ou justificativas matemáticas proporcionam. Aos vinte e um anos de idade, depois de freqüentar rodas matemáticas em Paris (além de outras) já graduado em Direito, ingressa voluntariamente na carreira das armas, uma das poucas opções “dignas” que se ofereciam a um jovem como ele, oriundo da nobreza menor da França. Durante os quase nove anos que serviu em vários exércitos, não se sabe de nenhuma proeza militar realizada por Descartes. É que as batalhas que ocupavam seus pensamentos e seus sonhos travavam-se no campo da ciência e da filosofia.

Geometria Plana X Geometria Espacial

A Geometria Plana está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo que essas definições e postulados são usados para demonstrar a validade de cada teorema. Alguns desses objetos são aceitos sem demonstração, isto é, você deve aceitar tais conceitos porque os mesmos parecem funcionar na prática!

CONHEÇA A GEOMETRIA PLANA

Para se chegar à compreensão da necessidade de classificação de figuras, da forma como é usual na Geometria Euclidiana, é necessário obter compreendido as suas vantagens matemáticas. Sem esta compreensão, parece um jogo de palavras ter ouvido o professor afirmar que um triângulo isósceles é o que tem os lados iguais, e depois ver o professor permitir que um triângulo com os três lados iguais seja também isósceles. Só após o conhecimento de algumas propriedades das figuras é que os alunos compreenderão as vantagens de optar por uma classificação.

Vamos optar por apresentar os diversos tipos de figuras em separado apenas por uma razão de "arrumação".

Chamamos polígonos a qualquer porção do plano limitada por segmentos de reta que forma uma linha poligonal fechada.

A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana) e trata dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relação entre esses elementos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial, são: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ângulos e superfícies. Os principais tipos de cálculos que podemos realizar são: comprimentos de curvas, áreas de superfícies e volumes de regiões sólidas. Tomaremos ponto e reta como conceitos primitivos, os quais serão aceitos sem definição.

Conceitos gerais

Um plano é um subconjunto do espaço R³ de tal modo que quaisquer dois pontos desse conjunto pode ser ligado por um segmento de reta inteiramente contido no conjunto.

Um plano no espaço R³ pode ser determinado por qualquer uma das situações:

• Três pontos não colineares (não pertencentes à mesma reta);
• Um ponto e uma reta que não contem o ponto;
• Um ponto e um segmento de reta que não contem o ponto;
• Duas retas paralelas que não se sobrepõe;
• Dois segmentos de reta paralelos que não se sobrepõe;
• Duas retas concorrentes;
• Dois segmentos de reta concorrentes.

FIGURA DE ESCHER

• 

GEOMETRIA PLANA X GEOMETRIA ESPACIAL

A geometria plana, também chamada geometria elementar ou Euclidiana, teve início na Grécia antiga. Esse estudo analisava as diferentes formas de objetos, e baseia-se em três conceitos básicos: ponto, reta e plano. O conceito de ponto é um conceito primitivo, pois não existe uma definição aceita de ponto, temos nesse caso que aceitar sua existência e indicaremos um ponto por uma letra maiúscula do alfabeto(A, G, P,. . . ). Podemos definir uma reta como sendo um número infinito de pontos em seqüência. Não é difícil perceber que sobre um ponto passa um número infinito de retas, porém sobre dois pontos distintos passa apenas uma reta distinta.

Uma reta que apenas passa por estes dois pontos é chamada de reta infinita, caso ela comece em um ponto qualquer e não tenha fim, ela será denominada reta semi-infinita, e no caso de ela se iniciar em um ponto e terminar em um outro ela será denominada de semi-reta. Indicaremos uma reta por uma letra minúscula qualquer (r,s,t,. . . ). Se tivermos três pontos distintos, teremos então um plano o qual contém os três pontos e todas as retas que passarem por dois destes pontos estarão contidas no plano, assim como também estarão contidas no plano todas as retas paralelas às retas citadas anteriormente. Indicaremos um plano por uma letra minúscula do alfabeto grego (a, b, g, ...).

A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana) e trata dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relação entre esses elementos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial, são: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ângulos e superfícies. Os principais tipos de cálculos que podemos realizar são: comprimentos de curvas, áreas de superfícies e volumes de regiões sólidas. Tomaremos ponto e reta como conceitos primitivos, os quais serão aceitos sem definição.

conceitos gerais

Um plano é um subconjunto do espaço R³ de tal modo que quaisquer dois pontos desse conjunto pode ser ligado por um segmento de reta inteiramente contido no conjunto.

COMO SURGIU A GEOMETRIA

A geometria, nasceu das necessidades e das observações do homem. é uma parte da Matemática que lida com as propriedades do espaço, utilizando sistema que utiliza pontos, linhas, superfícies e sólidos.

Os conhecimentos geométricos começaram a ser utilizados muitos séculos antes de Cristo. No Egito, por exemplo, as cheias anuais do rio Nilo destruíaram as cercas que demarcavam os campos de plantação. Quando as águas voltaram ao nível normal, os egípcios dividiam novamente as terras, baseando-se em registros feitos antes das cheias. E isso só acontecia por causa da geometria.

A gemetria que estudamos hoje é conhecida como Euclidiana, em homenagem ao grego Euclides, o primeiro matemático a apresentar a geometria de forma bem organizada. Por quase dois milênios, todos os estudos geométricos se baseavaam em seu famoso livro Os Elementos. Muitos povos do passado não utilizavam apenas propriedades da geometria, que na Grécia era considerada uma ciência, para medirem áreas e volumes. Eles tinham suas próprias regras.

Os príncipios da geometria foram desenvolvidos pelos povos antigos, principalmente os gregos e os egípcios. Muitos séculos antes de cristo, os egípcios, após cada inundação do rio Nilo, tihnam necessidade de dividir suas terras. Assim, descobriram eseperimentalmente vários propriedades geométricas.

Foram os gregos, porém, que alguns séculos antes de cristo, motivados por curiosidade científica, estudaram a geometria, usando raciocínio lógico.

As costruções das pirâmides, e templos pelas civilizações egípcias e babilônias são a prova mais antigde um conhecimento de geometria. Muitas outras civilização conheciam o teorema sobre o teorema o quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo.

Os povos antigos (egípicios, chineses, romanos, dentre outros) usavam a geometria principalmente para a topografia, a navegação e a astronomia. Atualmente podemos dizer que a geometria está presente em praticamente todos os campos de ação humana.

O estudo da geometria os termos mais simples e mais fundamentais são chamados de conceitos primitivos: as afirmações demonstradas são chamadas de teorema.

Há muito tempo os poliedros regulares despertam fascínio nos homens de todas as idades. Esse fascínio é motivado pela beleza simétrica dos poliedros regulares.

Os antigos egípicios já conheciam alguns e os utilizaram em sua agricultura.

Os gregos acreditavam que todos os corpos, como ocupam um determinado espaço são formados por partes de cinco corpos elementos: O fogo, o ar, a água, a terra e o cosmo. Eles relacionaram esses cinco corpos elementares aos cinco sólidos: o tetraedro ao fogo, o hexaedro à terra, o octaedro ao ar, o icosaedro à água e o dodecaedro ao cosmo.

Platão e seus seguidores, que viveram na Grécia antiga, estudaram esses sólidos exaustivamente. Por isso eles pornaram-se conhecidos como: Os Poliedros de Platão.

UMAS DAS FIGURAS DE ESCHER

GEOMETRIA PLANA GEOMETRIA ESPACIAL

Desde a invenção da roda, círculos e circunferências fazem parte da nossavida cotidiana. Suas muitas divisões e as figuras geométricas que podemosconstruir a partir delas são, desde as civilizações da antiguidade, utilizadaspara representar a divisão do tempo, os signos do zodíaco e símbolos místicos,como o pentagrama da famosa sociedade pitagórica. Ainda na antiguidade, divisões de terras, armazenamento e comercializaçãode alimentos motivaram os estudos iniciais de áreas e volumes. A necessidadede modelos para as figuras e formas geométricas que estão à nossa volta nanatureza e nas construções provocou a busca de um melhor entendimento dasformas espaciais. Entre árvores e montanhas, vales e planícies, contornandoou controlando o curso dos rios, o homem construiu templos, pirâmides, castelos,barragens, grandes e pequenas cidades, e as formas geométricas emsuas múltiplas possibilidades foram e são exploradas até os dias atuais. Ampliar o estudo das figuras geométricas planas e explorar a diversidadedas figuras geométricas espaciais, suas propriedades métricas, áreas e volumese algumas de suas muitas aplicações será o objetivo deste módulo.

Geometria Plana Elementos de Geometria plana Geometria Plana do ponto de vista elementar. As principais figuras planas são apresentadas e existe um forte apelo visual. Um triângulo equilátero Triângulo difícil. Deve-se realizar várias operações algébricas envolvendo equações do segundo grau. Apresentamos outra forma para obter a área de um triângulo. Apresentamos um problema simples que costuma deixar muita gente "quebrando a cabeça". Um triângulo isósceles Triângulo especial que tem aparecido em alguns vestibulares. Para obter o ângulo procurado deve-se realizar muitas operações algébricas e tem-se a impressão de estarmos calculando o ângulo de uma forma cíclica sem a possibilidade de obter a resposta desejada. A solução faz uso forte da lei dos senos para um triângulo. Círculo, circunferência e arcos Aplicações da circunferência. Circunferência. Círculo. Pontos interiores e exteriores a uma circunferência. Raio, corda e diâmetro. Posições relativas de: retas e circunferência, de secantes e tangentes a uma circunferência, de duas circunferências, de segmentos tangentes a circunferências. Polígonos inscritos e circunscritos na circunferência. Arco de circunferência e ângulo central. Propriedades de arcos e cordas. Ângulo inscrito, semi-inscrito e arco capaz. Outras propriedades com cordas e segmentos. Áreas de regiões poligonais O Triângulo e uma região triangular. O conceito de região poligonal. Unidade de área. Cálculo da área do: retângulo, quadrado, paralelogramo, triângulo, losango, trapézio. Áreas de triângulos semelhantes. Polígonos regulares e seus elementos. Áreas de polígonos regulares. Áreas de polígonos semelhantes. Áreas de regiões circulares O círculo como limite de regiões poligonais regulares. Perímetro e Área do Círculo. Arcos. Setor circular. Segmento circular. Curiosidades sobre o número Pi. Exercícios de áreas de regiões poligonais Exercícios Resolvidos sobre Áreas de regiões poligonais. Exercícios de áreas de regiões circulares Exercícios Resolvidos sobre Áreas de regiões circulares. Geometria analítica plana Geometria Analítica plana, iniciando com as coordenadas no plano e dando ênfase no estudo das equações da reta. Também são estudadas as curvas cônicas nas suas formas padrões. Fórmula de Heron: área de região triangular Demonstração da Fórmula de Heron. Exercício resolvido. Programa on-line para calcular áreas de regiões triangulares, conhecidos os três lados. Vetores no plano cartesiano Vetores no plano Euclidiano e suas propriedades. O Plano cartesiano como um Espaço Vetorial bidimensional. Interpretação geométrica do produto escalar e suas principais propriedades. Geometria Espacial Elementos de Geometria Espacial Elementos gerais sobre a Geometria Espacial. Veja nossos outros links sobre Geometria espacial. A noção de espaço Um conceito de espaço. O que é um Sistema de Coordenadas e como este conceito aparece em nosso cotidiano. Outros sistemas de Coordenadas, como: coordenadas polares, cilíndricas, esféricas e um sistema geográfico de coordenadas. Uma idéia do que é o espaço R4. Exemplo de como o ser humano pode ser pensado como um objeto em R5. Algumas idéias sobre a inflação e uma análise deste objeto tão maltratado à luz da noção de Espaço. Exercícios. Cilindros O cilindro e o seu uso no nosso cotidiano. Exemplos onde este conceito é utilizado. Cilindros são superfícies e não sólidos como encontramos em muitos livros. Estendemos o conceito de cilindro a algo não usual. Lista de elementos geométricos do cilindro. Cálculo das áreas lateral e total do cilindro, assim como o volume da região envolvida pela superfície cilíndrica. Cones Cone e seus elementos: base, vértice, eixo, altura, geratriz, superfície lateral, superfície do cone, seção meridiana. Cones: circular, elíptico, reto e oblíquo. Áreas lateral e total do cone. Cone equilátero. Exercícios resolvidos. Esferas Aplicações da esfera. Aplicação prática da esfera no cálculo de volumes de recipientes onde se conhece a altura do líquido. A esfera é apresentada como uma superfície, ao contrário de algumas outras que sugerem que a esfera seja um sólido. Fórmulas não triviais para obter cálculos de áreas e volumes de objetos esféricos. Cálculo do volume de calotas nos hemisférios Sul e Norte. Demonstração de uma fórmula não trivial com o uso do Cálculo Diferencial e Integral. Programa escrito em Javascript para a realização de Cálculos On Line de elementos esféricos. Pirâmides Pirâmides: Elementos e Classificação. Pirâmide regular reta. Área lateral de uma pirâmide. Área total de uma pirâmide. Volume de uma pirâmide. Seção transversal de uma pirâmide. Poliedros Poliedros e os seus elementos: Faces, Arestas e Vértices. Poliedros convexos e as relações de Euler. Poliedros regulares e importantes relações matemáticas relacionadas com eles. Tabelas com elementos para o cálculo do raio do círculo inscrito, raio do círculo circunscrito, ângulo diedral, área lateral e volume de um poliedro regular convexo. Prismas Prisma e os seus tipos principais, de acordo com a inclinação das arestas laterais. As seções transversal e reta de um prisma. A planificação do prisma. Cálculos das áreas lateral e total do prisma e do volume do mesmo. O tronco de um prisma e o seu volume. Vetores no espaço R³ Conexão entre vetores de R2 e R3. Os conceitos de: Vetor em R3, soma de vetores e suas propriedades, aplicações geométricas, produto de escalar por vetor e suas principais propriedades, módulo de um vetor, vetores unitários e a importância desse conceito. Produto escalar e as suas propriedades. O ângulo entre dois vetores com o produto escalar. Vetores ortogonais, produto vetorial e suas propriedades. O ângulo entre dois vetores com o produto vetorial. O produto vetorial ao cálculo de áreas de paralelogramos e triângulos. Produto misto e o seu uso no cálculo de volumes de paralelepípedos e tetraedros não regulares.

COMO SURGIU A GEOMETRIA

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A geometria é um ramo da matemática que estuda as formas, planas e espaciais, com as suas propriedades. Está apoiada sobre alguns axiomas , postulados, definições, teoremas e corolários, sendo que essas afirmações e definições são usados para demonstrar a validade de cada teorema. A geometria permite-nos o uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos. A ORIGEM DA GEOMETRIA A palavra geometria é composta de duas palavras gregas: geos (terra) e metron (medida). Esta denominação deve a sua origem à necessidade que, desde os tempos remotos, o Homem teve de medir terrenos.Ano após ano o Nilo transbordava do seu leito natural, espalhando um rico limo so- bre os campos ribeirinhos, o que constituía uma benção, a base de existência do país dos Faraós, que na época se circunscrevia a uma estreita faixa de terra às margens do rio. A inundação fazia desaparecer os marcos de delimitação entre os campos. Para demarcarem novamente os limites existiam os "puxadores de corda", os "harpedonaptas" que baseavam a sua arte essencialmente no conhecimento de que o triângulo de lados 3, 4, 5 é retângulo.As construções das pirâmides e templos pelas civilizações egípcia e Babilônica são o testemunho mais antigo de um conhecimento sistemático da Geometria.Contudo, muitas outras civilizações antigas possuíam conhecimentos de natureza geométrica, desde a Babilônia à China, passando pela civilização Hindu. Os Babi- lônicos tinham conhecimentos matemáticos que provinham da agrimensura e co- mércio e a civilização Hindu conhecia o teorema sobre o quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo.A Geometria como ciência dedutiva apenas tem início na Grécia Antiga, cerca de sete séculos antes de Cristo, graças aos esforços de muitos notáveis predeces- sores de Euclides, como Tales de Mileto (640 - 546 a.C.), Pitágoras (580 - 500 a.C.) e Eudoxio (408 - 355 a.C.).Platão interessou-se muito pela Geometria e ao longo do seu ensino evidenciou a necessidade de demonstrações rigorosas, o que facilitou o trabalho de Euclides.Euclides (323 - 285 a.C.) deu um grande contributo para a Geometria escrevendo o livro "Elementos" que é constituído por 13 volumes. Este livro estabeleceu um méto- do de demonstração rigorosa só muito recentemente superado. ORIGEM DO DESENHO GEOMÉTRICO

“É possível inclusive que, a partir desta evolução nas relações do homem e da fau- na, nascera, há 60.000 anos, uma arte tão direta, tão inspirada, tão pujante, que con-servou sua imortal juventude.“Não foi nada explosivo. A mão tentou desenhar os traços, movida por um pensa- mento nascente que logrou progressivamente sua regulação, que acumulou experi- ência e que fecundou a imaginação. E é impossível não evocar- tão grande é a continuidade de nossa espécie desde suas origens selvagens- nesses traços gravados no osso, nesses traços curvos e titubeantes, os riscosque traçavam, não há muito, os meninos, como elementos precursores da escrita.” Pierre-Paul Grassé, in La vie des animaux, referindo-se à evolução do homem e ao surgimento da arte de desenhar (pintura pré-histórica encontrada na gruta de Lascaux, França).Como linguagem de comunicação e expressão, a arte do desenho antecede em muito a da escrita. O que é a escrita se não a combinação de pequenos símbolos desenhados? Através de gravuras traçadas nas paredes das cavernas, o homem pré-histórico registrou fatos relacionados com o seu cotidiano, deixando indicado- res importantes para os pesquisadores modernos estudarem os ancestrais de nos- sa espécie. Enfim, a arte do desenho é algo inerente ao homem.Não se sabe quando, ou onde, alguém formulou pela primeira vez, em forma de de- senho, um problema que pretendia resolver – talvez tivesse sido um “projeto” de mo- radia ou templo, ou algo semelhante. Mas esse passo representou um avanço fun- damental na capacidade de raciocínio abstrato, pois esse desenho representava algo que ainda não existia, que ainda viria a se concretizar. Essa ferramenta, grada- tivamente aprimorada, foi muito importante para o desenvolvimento de civilizações, como a dos babilônicos e a dos egípcios, as quais, como sabemos, realizaram ver- dadeiras façanhas arquitetônicas.Porém, uma outra civilização, que não hesitava em absorver elementos de outras culturas, aprendeu depressa como passar à frente de seus predecessores; em tudo que tocavam, davam mais vida. Eram os gregos. Em todas as áreas do pensamen- to humano em que se propuseram a trabalhar realizaram feitos que marcaram defi- nitivamente a história da humanidade.Foram os gregos que deram um molde dedutivo à Matemática. A obra Elementos, de Euclides (?300 a.C.), é um marco de valor inestimável, na qual a Geometria é desenvolvida de modo bastante elaborado. É na Geometria grega que nasce o De- senho Geométrico que aqui vamos estudar.Na realidade, não havia entre os gregos um diferenciação entre Desenho Geomé- trico e Geometria. O primeiro aparecia simplesmente na forma de problemas de construções geométricas, após a exposição de um item teórico dos textos de Geo- metria. Essa conduta euclidiana é seguida até hoje em países como a França, Suí- ça, Espanha, etc., mas, infelizmente, os problemas de construção foram há muitos banidos dos nossos livros de Geometria.Assim, pode-se dizer que o Desenho Geométrico é um capítulo da Geometria que, com o auxílio de dois instrumentos, a régua e o compasso, se propõe a resolver graficamente problemas de natureza teórica e prática. Para quem serve o desenho geométrico? A resolução de um problema de construção geométrica, de um modo geral compreende duas etapas:a pesquisa das propriedades e da seqüência de operações que possibilitam realizar a construção; a execução de construção pedida, servindo-se dos instrumentos de desenho.Pois bem, na primeira etapa lidamos, de forma teórica, com os elementos da Geometria, exigindo-se dos estudantes muito empenho. O estudo do dese- nho, nessa fase, dará oportunidade de desenvolver o raciocínio lógico- dedu- tivo, além de despertar a criatividade. Independentemente da área a que vá se dedicar futuramente como profissional, o estudante terá aí um elemento funda- mental na sua formação.Na segunda etapa, quando se manuseiam os instrumentos, desenvolve-se grandemente o sentido de organização; com freqüência, o estudante então experimenta a sensação de realização, ao ver se concretizarem, no papel, as idéias que possibilitaram a construção. Especificamente os que pretendem orientar seus estudos para as áreas de Engenharia ou Arquitetura terão no Desenho Geométrico o instrumental ne- cessário ao Desenho Projetivo, que, por sua vez, será muito utilizado nessas profissões. Para que serve o desenho geométrico? O Desenho Geométrico é classificado como desenho resolutivo, pois através dele, determinam-se respostas precisas para problemas de natureza prática ou teórica. Desenho Geométrico – José Carlos Putnoki – Ed. Scipione Geometria, parte da matemática que estuda as propriedades do espaço. Em sua forma mais elementar, a geometria trata de problemas métricos, como o cálculo da área e do diâmetro de figuras planas e da superfície e volume de corpos sólidos. Outros campos da geometria são a geometria analítica, a descritiva, a topologia, a geometria de espaços com quatro ou mais dimensões, a geometria fractal e a geo- metria não-euclidiana. Geometria descritiva primitiva Pitágoras e seus discípulos usaram certos axiomas ou postulados e a partir deles deduziram um conjunto de teoremas sobre as propriedades de pontos, linhas, ângu- los e planos, como o famoso teorema de Pitágoras. A obra Elementos, de Euclides, serviu como livro de texto básico de geometria quase até os nossos dias. Primeiros problemas geométricos Os gregos introduziram os problemas de construção, nos quais certa linha ou figura deve ser construída usando-se apenas uma régua de borda reta e um compasso. Há três famosos problemas de construção que datam da época grega: a duplicação do cubo (construir um cubo cujo volume seja o dobro do de outro cubo preexistente), a quadratura do círculo (construir um quadrado com área igual à de determinado cír- culo) e a trissecção do ângulo (dividir um ângulo em três partes iguais). Nenhuma destas construções é possível usando-se apenas régua e compasso.Os gregos, principalmente Apolônio de Perga, estudaram a família de curvas conhe- cidas como cônicas e descobriram muitas de suas propriedades fundamentais. Arquimedes inventou formas de medir a área de certas figuras curvas, assim como a superfície e o volume de sólidos limitados por superfícies curvas. Geometria analítica A geometria avançou muito pouco desde o final da era grega até a Idade Média. René Descartes, em 1637, forjou uma conexão entre a geometria e a álgebra, ao demonstrar como aplicar os métodos de uma disciplina na outra. Este é um funda- mento da geometria analítica, na qual representam-se as figuras através de expres- sões algébricas. Avanços modernos A geometria sofreu uma mudança radical de direção no século XIX. Gauss, Lobat- chevsky e János Bolyai, trabalhando em separado, desenvolveram sistemas coe- rentes de geometria não-euclidiana.Quase ao mesmo tempo, o britânico Arthur Cayley desenvolveu a geometria para espaços com mais de três dimensões. Outro conceito dimensional, o de dimensões fracionárias, surgiu no século XIX."Geometria", Enciclopédia Microsoft(R) Encarta(R) 99. (c)1993-1998 Microsoft Corporation. Todos os direitos reservados.

Parabéns!!!

Oi Minha Galerinha,

Parabéns pela criação do blog, está muito bonito,

vamos lá galera!!

Todos postando mais informações e imagens interessantes relativas a atividade da semana!!

Beijos.

Ps. podem colcar animações tb!!

Como surgiu Geometria?

Desde os tempos mais antigos, a GEOMETRIA tem desempenhado um papel importante na vida do homem. No ANTIGO EGITO, há mais de 4.500 anos, a GEOMETRIA já era usada nas situações de medição de terras. As terras às margens do RIO NILO eram divididas para o cultivo.Naquela época, eles utilizavam instrumentos de medida e cordas entrelaçadas concebidas para marcar ÂNGULOS retos.No EGITO nas proximidades do RIO NILO moravam muitas pessoas, que brigavam entre se, para poder ficar com um pedaço de terra e que várias vezes roubavam terras de outras pessoas.Daí os antigos faraós resolveram passar a nomear funcionários para poder dividir as terras das margens do RIO NILO, funcionários chamados de agrimensores, cuja tarefa era avaliar os prejuízos das cheias e restabelecer as fronteiras entre as diversas posses. Foi assim que nasceu a geometria. Estes agrimensores, ou esticadores de corda (assim chamados devido aos instrumentos de medida e cordas entrelaçadas concebidas para marcar ângulos retos), acabaram por aprender a determinar as áreas de lotes de terreno dividindo-os em retângulos e triângulos .

Geometria Plana

A geometria plana, também chamada geometria elementar ou Euclidiana, teve início na Grécia antiga. Esse estudo analisava as diferentes formas de objetos, e baseia-se em três conceitos básicos: ponto, reta e plano. O conceito de ponto é um conceito primitivo, pois não existe uma definição aceita de ponto, temos nesse caso que aceitar sua existência e indicaremos um ponto por uma letra maiúscula do alfabeto (A, G, P. . . ). Podemos definir uma reta como sendo um número infinito de pontos em seqüência. Não é difícil perceber que sobre um ponto passa um número infinito de retas, porém sobre dois pontos distintos passa apenas uma reta distinta. Uma reta que apenas passa por estes dois pontos é chamada de reta infinita, caso ela comece em um ponto qualquer e não tenha fim, ela será denominada reta semi-infinita, e no caso de ela se iniciar em um ponto e terminar em um outro ela será denominada de semi-reta. Indicaremos uma reta por uma letra minúscula qualquer (r,s,t,. . . ). Se tivermos três pontos distintos, teremos então um plano o qual contém os três pontos e todas as retas que passarem por dois destes pontos estarão contidas no plano, assim como também estarão contidas no plano todas as retas paralelas às retas citadas anteriormente. Indicaremos um plano por uma letra minúscula do alfabeto grego (a, b, g,...). Para saber relacionar no espaço as retas entre si temos que saber quais suas posições relativas, o que pode ser feito usando-se a definição de ângulo: O ângulo geométrico é dado pela união de duas retas não colineares(que estão na mesma linha) partindo da mesma origem. O ângulo entre estas duas retas é medido em graus, de tal forma que caibam 180° em uma circunferência completa. Depois de conhecermos estes conceitos, poderemos introduzir as definições das formas geométricas mais utilizadas, uma delas é o triângulo, que consiste na reunião de três segmentos de reta cujas extremidades se encontram sobre pontos não colineares. Chamamos de lado oposto a um certo ângulo interno ao triângulo o segmento de reta que une os outros dois ângulos do triângulo e lados adjacentes a um ângulos os segmentos de reta que partem deste ângulo. Chamamos também de ângulo externo de um triângulo ao ângulo que é ao mesmo tempo adjacente e suplementar a algum de seus ângulos internos. Os triângulos podem ser classificados em diversos tipos de acordo com seus lados (Eqüiláteros - Possuem três lados de mesmo comprimento, Isósceles - possuem dois lados de mesmo comprimento e Escalenos - possuem três lados de comprimentos diferentes) ou quanto a seus ângulos (Retângulos - possuem um ângulo de 90° graus, também chamado ângulo reto, Obtusângulos - possuem um ângulo obtuso, ou seja, um ângulo com mais de 90°, Acutângulos - possuem três ângulos agudos, ou seja, menores do que 90°). Polígonos são definidos como a figura formada por um número n maior ou igual a 3 de pontos ordenados de forma que três pontos consecutivos sejam não colineares. Um exemplo de polígono de 3 lados é um triângulo. Os polígonos possuem denominações particulares para enes diferentes: n=3 - triângulo, n=4 - quadrilátero, n=10 - decágono, n=20 - icoságono). Estas denominações são derivadas dos nomes dos números em grego. Outra forma importante da geometria plana é a circunferência definida como sendo o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo desse plano é uma constante positiva. Chamamos de círculo ao conjunto de uma circunferência e seus pontos internos. Existem também certos casos especiais para quadriláteros como definiremos a seguir: é dado o nome de trapézio a um quadrilátero que possui dois lados paralelos. Para o caso dos lados não paralelos serem congruentes dá-se a este trapézio o nome de trapézio isósceles, para o caso de lados não paralelos não congruentes é dado o nome de trapézio escaleno, e um trapézio que possui um lado perpendicular as bases é chamado trapézio retângulo. Paralelogramo é um quadrilátero que possui os lados opostos paralelos. Retângulo possui quatro ângulos congruentes entre si. O losango possui quatro lados congruentes entre si, e finalmente o quadrado que possui 4 lados e quatro ângulos congruentes entre si.

Geometria Espacial

Elementos de Geometria espacial :

A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana) e trata dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relação entre esses elementos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial são: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ângulos e superfícies. Os principais tipos de cálculos que podemos realizar são: comprimentos de curvas, áreas de superfícies e volumes de regiões sólidas. Tomaremos ponto e reta como conceitos primitivos, os quais serão aceitos sem definição. Conceitos gerais Um plano é um subconjunto do espaço R3 de tal modo que quaisquer dois pontos desse conjunto pode ser ligado por um segmento de reta inteiramente contido no conjunto. Um plano no espaço R3 pode ser determinado por qualquer uma das situações: Três pontos não colineares (não pertencentes à mesma reta); Um ponto e uma reta que não contem o ponto; Um ponto e um segmento de reta que não contem o ponto; Duas retas paralelas que não se sobrepõe; Dois segmentos de reta paralelos que não se sobrepõe; Duas retas concorrentes; Dois segmentos de reta concorrentes. Duas retas (segmentos de reta) no espaço R3 podem ser: paralelas, concorrentes ou reversas. Duas retas são ditas reversas quando uma não tem interseção com a outra e elas não são paralelas. Pode-se pensar de uma regra r desenhada no chão de uma casa e uma reta s desenhada no teto dessa mesma casa.

Escher

A Figura de Escher Mauritus Cornelis Escher nasceu em Leeuwarden na Holanda em 1898, faleceu em 1970 e dedicou toda a sua vida às artes gráficas. Foi um artista gráfico holandês conhecido pelas suas xilogravuras, litografias e meios-tons (mezzotints), que tendem a representar construções impossíveis, preenchimento regular do plano, explorações do infinito e as metamorfoses - padrões geométricos entrecruzados que se transformam gradualmente para formas Completamente diferentes.

Postado por : Renildo Barbosa

Escher

Umas das Figuras de Escher

Postado por : Renildo Barbosa.