Desde a invenção da roda, círculos e circunferências fazem parte da nossavida cotidiana. Suas muitas divisões e as figuras geométricas que podemosconstruir a partir delas são, desde as civilizações da antiguidade, utilizadaspara representar a divisão do tempo, os signos do zodíaco e símbolos místicos,como o pentagrama da famosa sociedade pitagórica.
Ainda na antiguidade, divisões de terras, armazenamento e comercializaçãode alimentos motivaram os estudos iniciais de áreas e volumes. A necessidadede modelos para as figuras e formas geométricas que estão à nossa volta nanatureza e nas construções provocou a busca de um melhor entendimento dasformas espaciais. Entre árvores e montanhas, vales e planícies, contornandoou controlando o curso dos rios, o homem construiu templos, pirâmides, castelos,barragens, grandes e pequenas cidades, e as formas geométricas emsuas múltiplas possibilidades foram e são exploradas até os dias atuais.
Ampliar o estudo das figuras geométricas planas e explorar a diversidadedas figuras geométricas espaciais, suas propriedades métricas, áreas e volumese algumas de suas muitas aplicações será o objetivo deste módulo.
Geometria Plana
Elementos de Geometria plana
Geometria Plana do ponto de vista elementar. As principais figuras planas são apresentadas e existe um forte apelo visual.
Um triângulo equilátero
Triângulo difícil. Deve-se realizar várias operações algébricas envolvendo equações do segundo grau. Apresentamos outra forma para obter a área de um triângulo. Apresentamos um problema simples que costuma deixar muita gente "quebrando a cabeça".
Um triângulo isósceles
Triângulo especial que tem aparecido em alguns vestibulares. Para obter o ângulo procurado deve-se realizar muitas operações algébricas e tem-se a impressão de estarmos calculando o ângulo de uma forma cíclica sem a possibilidade de obter a resposta desejada. A solução faz uso forte da lei dos senos para um triângulo.
Círculo, circunferência e arcos
Aplicações da circunferência. Circunferência. Círculo. Pontos interiores e exteriores a uma circunferência. Raio, corda e diâmetro. Posições relativas de: retas e circunferência, de secantes e tangentes a uma circunferência, de duas circunferências, de segmentos tangentes a circunferências. Polígonos inscritos e circunscritos na circunferência. Arco de circunferência e ângulo central. Propriedades de arcos e cordas. Ângulo inscrito, semi-inscrito e arco capaz. Outras propriedades com cordas e segmentos.
Áreas de regiões poligonais
O Triângulo e uma região triangular. O conceito de região poligonal. Unidade de área. Cálculo da área do: retângulo, quadrado, paralelogramo, triângulo, losango, trapézio. Áreas de triângulos semelhantes. Polígonos regulares e seus elementos. Áreas de polígonos regulares. Áreas de polígonos semelhantes.
Áreas de regiões circulares
O círculo como limite de regiões poligonais regulares. Perímetro e Área do Círculo. Arcos. Setor circular. Segmento circular. Curiosidades sobre o número Pi.
Exercícios de áreas de regiões poligonais
Exercícios Resolvidos sobre Áreas de regiões poligonais.
Exercícios de áreas de regiões circulares
Exercícios Resolvidos sobre Áreas de regiões circulares.
Geometria analítica plana
Geometria Analítica plana, iniciando com as coordenadas no plano e dando ênfase no estudo das equações da reta. Também são estudadas as curvas cônicas nas suas formas padrões.
Fórmula de Heron: área de região triangular
Demonstração da Fórmula de Heron. Exercício resolvido. Programa on-line para calcular áreas de regiões triangulares, conhecidos os três lados.
Vetores no plano cartesiano
Vetores no plano Euclidiano e suas propriedades. O Plano cartesiano como um Espaço Vetorial bidimensional. Interpretação geométrica do produto escalar e suas principais propriedades.
Geometria Espacial
Elementos de Geometria Espacial
Elementos gerais sobre a Geometria Espacial. Veja nossos outros links sobre Geometria espacial.
A noção de espaço
Um conceito de espaço. O que é um Sistema de Coordenadas e como este conceito aparece em nosso cotidiano. Outros sistemas de Coordenadas, como: coordenadas polares, cilíndricas, esféricas e um sistema geográfico de coordenadas. Uma idéia do que é o espaço R4. Exemplo de como o ser humano pode ser pensado como um objeto em R5. Algumas idéias sobre a inflação e uma análise deste objeto tão maltratado à luz da noção de Espaço. Exercícios.
Cilindros
O cilindro e o seu uso no nosso cotidiano. Exemplos onde este conceito é utilizado. Cilindros são superfícies e não sólidos como encontramos em muitos livros. Estendemos o conceito de cilindro a algo não usual. Lista de elementos geométricos do cilindro. Cálculo das áreas lateral e total do cilindro, assim como o volume da região envolvida pela superfície cilíndrica.
Cones
Cone e seus elementos: base, vértice, eixo, altura, geratriz, superfície lateral, superfície do cone, seção meridiana. Cones: circular, elíptico, reto e oblíquo. Áreas lateral e total do cone. Cone equilátero. Exercícios resolvidos.
Esferas
Aplicações da esfera. Aplicação prática da esfera no cálculo de volumes de recipientes onde se conhece a altura do líquido. A esfera é apresentada como uma superfície, ao contrário de algumas outras que sugerem que a esfera seja um sólido. Fórmulas não triviais para obter cálculos de áreas e volumes de objetos esféricos. Cálculo do volume de calotas nos hemisférios Sul e Norte. Demonstração de uma fórmula não trivial com o uso do Cálculo Diferencial e Integral. Programa escrito em Javascript para a realização de Cálculos On Line de elementos esféricos.
Pirâmides
Pirâmides: Elementos e Classificação. Pirâmide regular reta. Área lateral de uma pirâmide. Área total de uma pirâmide. Volume de uma pirâmide. Seção transversal de uma pirâmide.
Poliedros
Poliedros e os seus elementos: Faces, Arestas e Vértices. Poliedros convexos e as relações de Euler. Poliedros regulares e importantes relações matemáticas relacionadas com eles. Tabelas com elementos para o cálculo do raio do círculo inscrito, raio do círculo circunscrito, ângulo diedral, área lateral e volume de um poliedro regular convexo.
Prismas
Prisma e os seus tipos principais, de acordo com a inclinação das arestas laterais. As seções transversal e reta de um prisma. A planificação do prisma. Cálculos das áreas lateral e total do prisma e do volume do mesmo. O tronco de um prisma e o seu volume.
Vetores no espaço R³
Conexão entre vetores de R2 e R3. Os conceitos de: Vetor em R3, soma de vetores e suas propriedades, aplicações geométricas, produto de escalar por vetor e suas principais propriedades, módulo de um vetor, vetores unitários e a importância desse conceito. Produto escalar e as suas propriedades. O ângulo entre dois vetores com o produto escalar. Vetores ortogonais, produto vetorial e suas propriedades. O ângulo entre dois vetores com o produto vetorial. O produto vetorial ao cálculo de áreas de paralelogramos e triângulos. Produto misto e o seu uso no cálculo de volumes de paralelepípedos e tetraedros não regulares.
